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2.2. Sistemas de Ecuaciones Tres por Tres (3x3)

Definición: Está formado por tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, en donde su solución satisface simultáneamente todas las ecuaciones.

Ejemplo:

          Donde:

  • x, y, z: son las incógnitas
  • 1, 2, 3: número de la ecuación

2.2.1. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas.

2.2.1.1. Método de reducción:

1. Selecciona dos ecuaciones cualesquiera y elimina una variable para obtener una ecuación lineal con dos incógnitas.

  • Tomamos la ecuación 1 y 3, eliminamos la variable x.
  • Multiplicamos la ecuación 3 por (2), luego sumamos.

  • Nos queda las ecuaciones:


2. Se repite el proceso anterior usando una combinación diferente de dos ecuaciones para poder eliminar la misma variable.

  • Tomamos la ecuación 2 y 3, eliminamos la variable x.
  • Multiplicamos la ecuación 2 por (2) y la 3 por (3), luego sumamos.

  • Nos queda las ecuaciones:

3. Se forma un sistema 2x2, con las ecuaciones obtenidas (4 y 5), se resuelve el nuevo sistema.


  • El nuevo sistema:

  • Multiplicamos 4 por (-15), luego sumamos las dos ecuaciones.

  • Se reemplaza el valor de z en la ecuación 4:

4. Se reemplaza los valores encontrados en cualquier ecuación del sistema inicial.

La solución es: (x, y, z)  →  (-3, 1, -2)

También puedes ayudarte para saber más en el siguiente video:

Video

2.2.1.2. Método de determinantes.

Definición: Es aquel formado por tres filas y tres columnas → (Determinante de orden 3).

Para encontrar el valor del determinante de orden 3 → Se aplica método conocido como la regla de Sarrus.

Se aplica:

Regla de Cramer: Para resolver un sistema 3x3 por el método de determinantes se aplica la regla de CRAMER.

Para poder resolver el sistema 3x3 con la regla de Cramer, se debe realizar:

1. Se extrae los coeficientes del sistema:

2. Se encuentra el determinante para el sistema y las variables:

Para el determinante del sistema.

Determinante para x:

Determinante para y:

Determinante para z:

3. Aplicando la regla de Cramer se da solución al sistema:

Ejemplo:

Resuelva el siguiente sistema por el método de determinantes.

Se extrae los coeficientes de cada ecuación     

Aplicando la regla de Cramer y, luego la regla de Sarrus para hallar el valor de cada determinante:

  • Para el determinante del sistema.

  • Para el determinante de x.

  • Para el determinante de y.

  • Para el determinante de z.

 

Conjunto solución: c.s: (x, y, z)   →   (1, 4, -3)

También puede reforzar su conocimiento mediante el siguiente video:

Video

2.2.2. Soluciones de un sistema lineal de tres por tres (3 x 3)

2.2.3. Problema de aplicación

1. Tres familias asisten a una función del circo. La familia Castillo compra 3 entradas para adultos, 2 para adolescentes, 1 para niños y paga en total $52. La familia López compra 2 entradas para adultos, 2 para adolescentes, 4 para niños y paga en total $60. La familia Suárez compra 2 entradas para adulto, 3 para adolescentes, 3 para niños y paga en total $62. ¿Cuál es el precio de entrada para un adulto, adolescente y un niño por separado?

a. Se identifica las variables del problema: entrada para adulto, adolescente y niño.

Adulto: x

Adolescente: y

Niño: z

b. Se plantea el sistema de ecuaciones:

Se lo resuelve por el método de reducción:

  • Multiplicamos por (-1) la ecuación 2 y sumamos la ecuación 3.

  • Multiplicamos por (-2) la ecuación 1 y por (3) la ecuación 3; luego las sumamos.

  • Formamos un sistema 2x2 con las ecuaciones 4 y 5.

  • Aplicamos el método de reducción, multiplicamos por (-5) la ecuación 4 y sumamos la ecuación 5.

  • Reemplazamos el valor de z en la ecuación 4.

  • Reemplazamos el valor de z e y en la ecuación 2.

Conjunto solución: El valor de la entrada para adultos es de $10, para adolescentes es $8 y para niños $6.