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3. Ecuaciones con Valor Absoluto

Definición: Son aquellas ecuaciones con una variable o variables dentro de barras de valor absoluto |x|.

Caso1: Variable dentro de las barras de valor absoluto | x |

Se utilizan las propiedades |x| = a ↔ x = a o x = -a

Ejemplos:

Ejemplo 1

|x + 7| = 16

x = a

x + 7 = 16

x = 16 - 7

x = 9


o

x = - a

x + 7 = -16

x = - 16 - 7

x = - 23

Comprobación

|9 + 7| = 16

|16| = 16

16 = 16

| - 23 + 7| = 16

| -16| = 16

16 = 16

Ejemplo 2

|3x - 6| = 12

x = a

3x - 6 = 12

3x = 12 + 6

3x = 18

x = 18/3

x = 6


o

x = - a

3x - 6 = 12

3x = -12 + 6

3x = -6

x = - 6/3

x = -2

Comprobación

|3 * 6 - 6| = 12

|18 - 6| = 12

|12| = 12

12 = 12

|3 * (-2) - 6| = 12

|- 6 - 6| = 12

|- 12| = 12

12 = 12




Ejemplo 3

11 + |3x - 1| = 4 ↔ |3x - 1| =  -7

x = a

3x -1 = -7

3x = -7 +1

3x = -6

x = -6/3

x = -2


o

x = -a

3x -1 = 7

3x = 7 + 1

3x = 8

x = 8/3

Comprobación

11 + |3 * (-2) -1| = 4

11 + |-6 -1| = 4

11 + |-7| = 4

11 + 7 = 4

18 ≠ 4



11 + |3 * (8/3) -6| = 4

11 + |8 -6| = 4

11 + |2| = 4

11 + 2 = 4

13 ≠ 4


Sol: No tiene solución.

Actividades de evaluación formativa 3

Caso 2: Variable fuera de las barras |x|=x+c

Se utilizan las propiedades:

  1. a ≥ 0
  2. x = a o x = -a

Ejemplos:

Ejemplo 1:

|x -4| = 2x + 7

a ≥ 0

2x + 7 ≥ 0

2x ≥ -7

x ≥ -7/2

x = -a

x -4 = 2x + 7

-x = 4 + 7

x = -11

o

x = -a

x -4 = -(2x + 7)

x -4 = -2x -7

3x = 4 -7

3x = -3

x = -1

Sol: x = -1.

Ejemplo 2

|-2x + 6| -4 = 10x ↔ |-2x + 6| = 10x + 4

x ≥ a

10x + 4 ≥ 0

10x ≥ -4

x = a

-2x + 6 = 10x + 4

-2x -10x = 4 -6

-12x = -2


o

x = -a

-2x + 6 = -(10x + 4)

-2x + 6 = -10x -4

-2x + 10x = -4 -6

8x = -10

Actividades de evaluación formativa 4